Question

求解答数学题

Answer 1

这是考察中值定理中的罗尔定理，其中构造了函数。而标志性的是函数在闭区间连续开区间单调，所以考虑应用中值定理。望采纳

Answer 2

使用还原法求辅助函数

y+xy'=0
xy'=-y
dy/y=-1/x
ln|y|=ln|1/x|+A，其中A是任意常数
y=B/x，其中B是任意常数
xy=B
因此，令g(x)=xf(x)
根据题意，g(x)在[0,a]上连续，在(0,1)内可导
且g(0)=g(a)=0
则根据罗尔定理，存在一点ξ∈(0,a)，使得g'(ξ)=0
g'(ξ)=f(ξ)+ξf'(ξ)=0
证毕

Answer 3

解答

这道题目这样做：构造g(x)=x×f(x)
则g(0)=g(a)=0 且g(x)在[0,a]上连续,在(0,a)上可导.
再注意到g'(x)=f(x)+x×f(x)
对g(x)应用中值定理,存在一点ξ∈(0,a)使得g'(ξ)=0
证毕！
2！
设h(x)=xf(x)
则h(0)=0f(0)=0

h(a)=af(a)=0

则根据拉格朗日中值定理
如果函数在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,那末在(a,b)内至少有一点c,使
f(b)-f(a)=(b-a)f'(c)成立.

这道题中,由于h(a)=h(0)
那么(0,a)中存在一点ξ
使得h(a)-h(0)=ah'(ξ)

则h'(ξ)=0
而由于h(x)=xf(x)

则h'(x)=f(x)+xf'(x)
h'(ξ)=f(ξ)+ξf’(ξ)
所以f(ξ)+ξf’(ξ)=0.