Question

已知函数.当时,求的最小值;若函数在区间上不单调,求的取值范围.

已知函数. 当时,求的最小值; 若函数在区间上不单调,求的取值范围.

Answer 1

当时,准确求出函数的导数是解决本题的关键,求函数的最值要研究函数在定义区间的单调性,通过函数的单调性解决本题;将函数在给定区间上不单调问题进行等价转化是解决本题的关键,即将原函数不单调问题转化为导函数在给定区间上有根问题,利用分离常数法解决本题.
解:当时,,,令得.得,得,在上单调递减,在上单调递增.故...在上不单调,在上有根且无重根.即方程在有根,且无重根..
本题考查导数研究函数的最值,单调性等问题,考查学生的转化与化归思想,求最值时候要注意研究函数的单调性,将函数的单调性问题转化为导函数的正负问题,本题又一个考点是利用分离常数法求字母的取值范围,将字母的取值范围转化为相应函数的值域问题,通过求函数的值域达到解决本题的目的.