Question

设y=y(x)由x²-xy+y²=1所确定，求y’|(1,1)；y’’|(1,1)

Answer 1

将y(x)看成x的函数，例如 x y(x)求导，用乘法求导公式 得x'y(x)+x y'(x)

等式两端对x求一次导数，并把x=1，y=1代入，可解出y'。

所得式子再对x求一次导数，可解出y''。

如下图：

Answer 2

第一步对原式用直接法得到2x-y-xy′+2y=0
可以知道y的一阶导数y′=2+y/x
第二步将x、y=1代入此式
可得y′/（1，1）=2+1=3；
第三步对y′求导，可知y″=-y/x²+y′/x，
第四步将y′式子代入，可得：y″=2/x，
最后代入x=y=1，可知答案为2

Answer 3

答案和解题过程见图片

Answer 4

1
先求一阶导数即2x-y-x*y'+2y*y'=0
所以y'=(2x-y)*(x-2y)
所以y'(1,1)=-1
2
2x-y-x*y'+2y*y'=0
对x求导
2-y'-y'-x*y''+2y'*y'+2y*y''=0
所以y''=(2-2y+2y'²)/(x-2y)

所以y''(1,1=-2

Answer 5

第一步，求一阶导数。
2x-(y+xy')+2yy'=0
y'(2y-x)=y-2x
y'=(y-2x)/(2y-x)
y'|(1,1)=(1-2)/(2-1)=-1
第二步，求二阶导数。
2-(2y'+xy'')+2(y')^2+2yy''=0
y''(2y-x)=2y'-2(y')^2-2
y''|(1,1)=(2y'-2(y')^2-2)/(2y-x)
=(-2-2-2)/1
=-6