变限积分函数如何求导
形如∫tf(t)ⅆt其中积分区域是0到x,它的导数怎么求是t*f(t)的积分,不是f(t)的积分...
形如∫tf(t)ⅆt其中积分区域是0到x,它的导数怎么求
是t*f(t)的积分,不是f(t)的积分 展开
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最常见的是变上限函数的积分,即∫f(t)dt(积分限a到x),根据映射的观点,每给一个x就积分出一个实数,因此这是关于x的一元函数,记为g(x)=∫f(t)dt(积分限a到x),注意积分变量用什么符号都不影响积分值,改用t是为了不与上限x混淆。
现在用导数定义求g'(x),根据定义,g'(x)=lim[∫f(t)dt-∫f(t)dt]/h(h趋于0,积分限前者为a到x+h,后者为a到x)=lim∫f(t)dt/h(积分限x到x+h,根据的是积分的区间可加性),根据积分中值定理,存在ξ属于(x,x+h),使得∫f(t)dt/h=f(ξ)h,又因为h趋于0时ξ是趋于x的,故极限=limf(ξ)h/h=f(x),至此证明了g'(x)=f(x)。
扩展资料
如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,则积分变上限函数在[a,b]上具有导数,并且导数为:
证明过程如下:
参考资料
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原式 = 积分[0, x^2] sin[xy] / y dy - 积分[0, x] sin[xy] / y dy 求导: ( 积分[0, x^2] sin[xy] / y dy ) ' = sin[x^3] / x^2 * (x^2) ' ...
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2019-07-25
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