Question

请问这样求极限错在哪里了？

用洛必达我会求，为什么一用泰勒就有问题了？洛必达的解法我会，我想要知道的解法错在哪了，以及这题能不能用泰勒做，怎么做(11年数3的题)

Answer 1

第三行到第四行、第四至第五行、第五至第六行都有问题。分子分母同时展开时，应注意从低阶到高阶取相同的阶数(除非有些阶不存在)，极限值等于相同的最低阶的系数比，若分子的最低阶阶数高于分母，则极限为0，反之则极限不存在 。第三行到第四行分子仅在e的指数上用展开且只取到关于sinx的一次项，近似程度不够， 第四至第五行又展开只取到关于sinx的一次项，近似程度又不够，第五至第六行又展开取到了关于x的三次项貌似为了提高精度，其实已无意义。其实可从第二行开始，分子直接展开取到关于x的二次项（常数项、一次项都自行消去了），分母取到关于x的二次项是正确的（常数项、一次项都不存在），往下简单了,答案为-1/2

Answer 2

错在倒数第二个等号处了，等价无穷小代换，只能代乘除，不能代加减。例如x~sinx，你可以将xsinx写成x²而不能将sinx-x写成x-x
就像题中(e的sinx次方-1)-x你写成了sinx-x那就是错的了啊
要是没有后边的-x，你可以将e的sinx次方-1代换成sinx

Answer 3

图片上的解法，错在“等价无穷小量”的表达式选取上。
这类题可以运用泰勒展开式做，但须注意的是取前n项(n=1,2,或者3，……)要视“题目”条件而定。一般的，出现的幂指函数最高次数为n时，至少要取前n项方可。
本题中，xln(1+x)~x²，视同于出现“幂指函数n=2”的情形。故，分子至少应取n=2的等价无穷小量表达式。
运用广义二项展开式(1+x)^α=1+αx+[α(α-1)]/(2!)x²+O(x²)，∴(1+2sinx)^(1/2)~1+sinx-(1/2)sin²x~1+x-x²/2。
∴原式=-1/2。
供参考。

追问

谢谢，懂了

追答

不客气，有问题再交流哈！

Answer 4

lim(x->0) [√(1+2sinx) -x-1]/[x.ln(1+x)]

=lim(x->0) [√(1+2sinx) -x-1]/x^2

=lim(x->0) [√(1+2sinx) -(x+1)]/x^2

=lim(x->0) [(1+2sinx) -(x+1)^2]/ { x^2 .[√(1+2sinx) +(x+1)] }

=lim(x->0) (2sinx -x^2-2x )/ { x^2 .[√(1+2sinx) +(x+1)] }

=(1/2) lim(x->0) (2sinx -x^2-2x )/  x^2

=(1/2) lim(x->0) ( -x^2 )/  x^2

=-1/2

OR

x->0

√(1+2sinx) 

=√(1+2x +o(x^2) ) 

=1 +(1/2)(2x)  -(1/8)(2x)^2  +o(x^2)

=1 +x - (1/2)x^2 +o(x^2)

√(1+2sinx) -x-1 =-(1/2)x^2 +o(x^2)

lim(x->0) [√(1+2sinx) -x-1]/[x.ln(1+x)]

=lim(x->0) [√(1+2sinx) -x-1]/x^2

=lim(x->0) -(1/2)x^2/x^2

=-1/2

Answer 5