Question

图上这个微分方程怎么解？

Answer 1

求微分方程 -ay'+y=x的通解。
解：先求齐次方程 -ay'+y=0的通解：dy/y=dx/a；积分得：lny=(x/a)+lnc₁，
故得齐次方程的通解为：y=c₁e^(x/a);
将c₁换成x的函数u，那么y=ue^(x/a)..............①
将①对x取导数得：dy/dx=u'e^(x/a)+(u/a)e^(x/a)...........②
]将①②代入原式得：-a[u'e^(x/a)+(u/a)e^(x/a)+ue^(x/a)=x;
化简得：-au'e^(x/a)=x；du/dx=-(x/a)e^(-x/a);
故u=-∫(x/a)e^(-x/a)dx=∫xd[e^(-x/a)]=xe^(-x/a)-∫e^(-x/a)dx
=xe^(-x/a)+a∫e^(-x/a)d(-x/a)=xe^(-x/a)+ae^(-x/a)+c=(x+a)e^(-x/a)+c;
将u之值代入①式，即得原方程的通解为：y=e^(x/a)[(x+a)e^(-x/a)+c]=x+a+ce^(x/a)；

追问

为什么不能直接套一阶线性微分方程的公式做？

追答

当然可以直接用公式作，如果你喜欢。
我不习惯用公式。

追问

哦哦，谢谢

Answer 2

-ay'+y =x
y' - (1/a)y = -x/a
The aux.equation
p- 1/a =0
p= 1/a
let
yg= Ce^(x/a)
yp = Ax+B
yp'= A
yp' - (1/a)yp = -x/a
A-(1/a)(Ax+B) = -x/a
-(A/a)x + (A -B/a) = -x/a
=>
-A/a = -1/a and A-B/a =0
A=1 and B = a
yp=x+a
通解
y=yg+yp=Ce^(x/a) + x+a