Question

如何证明保持距离不变的线性变换一定保持内积？

Answer 1

不论是2维、3维还是n维空间，保持距离不变的线性变换必定是单位正交变换，
单位正交变换下，向量长度、向量夹角都保持不变，向量内积肯定不变，不需要刻意证明
n维向量无法理解夹角，那应该知道变换矩阵A满足：A的转置矩阵*A=单位矩阵E
X'=AX，Y'=AY
X'、Y'的内积=(X'的转置矩阵)*Y'
=[(AX)的转置矩阵]*(AY)
=[(AX)的转置矩阵]*(AY)
=[X的转置矩阵*A的转置矩阵]*(AY)
=X的转置矩阵*[A的转置矩阵*A]*Y
=X的转置矩阵*[单位矩阵]*Y
=X的转置矩阵*Y=X、Y的内积