Question

已知0<a<1,0<b<1,0<c<1,求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不都小于1/4

Answer 1

题目有问题。
正确题目应该是：
已知:0<a<1,0<b<1,0<c<1,求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a中至少有一个小于或等于1/4
采用反证法。
证明：
假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a都大于1/4
因0<a<1,0<b<1,0<c<1
所以有
√((1-a)b)>1/2,√((1-b)c)>1/2,√((1-c)a)>1/2
则
√((1-a)b)+√((1-b)c)+√((1-c)a)
>
3/2
(*)
而由基本不等式：a,b∈R+,
a+b≥2√(ab),
有
√((1-a)b)≤(1-a+b)/2，
√((1-b)c)≤(1-b+c)/2，
√((1-c)a)≤(1-c+a)/2
所以
√((1-a)b)+√((1-b)c)+√((1-c)a)≤3/2
这与已知的：√((1-a)b)+√((1-b)c)+√((1-c)a)
>
3/2
(*)矛盾
所以假设不成立,
故(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a中至少有一个小于或等于1/4
证毕。