Question

请教一道高中数学题

Answer 1

解：
（1）
∵a1=1,a2=2,a3=a2-1,a4=2a3=2,∴猜测a2006=2．
（2）由
a2n=qa2n-1,a2n+1=a2n+d(q∈R,d∈R,q≠0)得a2n+1=qa2n-1+d,当d=0时，显然a2n+1=qa2n-1，{a2n-1}是等比数列，当d≠0时，因为a1=1只有a2n-1=1时，{a2n-1}才是等比数列，由a2n+1=qa2n-1+d
得q+d=1，
即
d=0,q≠0，或q+d=1由a2n=qa2n-1,a2n-1=a2n-2+d
得a2n=qa2n-2+d,得a2n=qa2n-2+qd(n≥2)，当q=1，a2n=a2n-2+d(n≥2)，显然{a2n}是等差数列，当q≠1时，a2=qa1=q，只有a2n=q时，{a2n}才是等差数列，由a2n+2=q(a2n+d)得，q+d=1
即q=1,q+d=1，综上所述:q+d=1.

Answer 2

因为α，β为锐角，所以α-β属于（-π/2,π/2)
则讨论tan(α-β)的最大值即可
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)
又tanα=3tanβ，所以上式等于2tanβ/(1+3tan²β)=2/[(1/tanβ)+3tanβ]
有均值不等式可得上式≤√3／3
当且仅当tanβ=√3／3时成立
此时tanα=√3
所以α-β最大值为arctan√3／3
α=π/3,β=arctan√3／3

Answer 3

α-β的最大值是30°
α=60°
β=30°
把tan（α-β)展开后都换成tanβ来表示，整理时可以分子分母同除以tanβ，再用均值不等式的方法求最值

Answer 4

(1)是求证：f(1/b)≤9/2
吧
f(1/b)=a/b^2+2+2=a/b^2+4
因为函数f(x)=ax^2+2bx+2有两个零点
所以(2b)^s-4*2*a=4b^2-8a》0
所以b^2》2a
则a/b^2《
1/2
所以f(1/b)=a/b^2+4《9/2
（2)1.a>0
b/a》2时
最大值为f(2)=4a+4b+2
b/a《-2时
最大值为f(-2)=4a-4b+2
-2<b/a<2
b>0时
最大值为f(2)=4a+4b+2
b<0时
最大值为f(-2)=4a-4b+2
2.a<0
b/a》2时
最大值为f(-2)=4a-4b+2
b/a《-2时
最大值为f(2)=4a+4b+2
-2<b/a<2
最大值为(8a-4b^2)/4a
(3)
因为x1＜x3＜x4＜x2
所以由f(x)=ax^2+2bx+2可知b^2-2a>0
由g(x)=a^2x^2+bx+1可知b^2-4a^2>0
所以b^2-4a^2<b^2-2a
4a^2>2a
所以a的取值范围为a<0或a>0.5