Question

求lim[x-(x^2)ln(1+1/x)]的极限

Answer 1

可以考虑泰勒公式，答案如图所示

Answer 2

答:
lim{x-x[ln[(1+1/x)^x]]}
这一步不能得出x-ex,因为x[ln[(1+1/x)^x]左边还有x,做加减法.
只有单一分式才能使用重要极限.
上式属于∞-∞的未定型,要化成0/0或∞/∞型。
方法：
令x=1/t,则t->0
原式=lim
t->0
1/t-ln(1+t)/t^2
=lim
t->0
[t-ln(1+t)]/t^2
这时候才可以用洛必达法则
=lim
t->0
[1-1/(1+t)]/2t
=lim
t->0
[t/(1+t)]/2t
=lim
t->0
1/2(1+t)
=1/2
所以原式=1/2

Answer 3

lim（A+B）=limA+limB
只有在A，B两个极限都存在的情况下才能对它分别求极限，否则上式不成立！！！x趋近于无穷的时候，x的极限不存在，后面这个也不存在！！

Answer 4

只能得到以下的结论
lim
ln(1+e^x)
-
x
=lim
ln[e^x
*
(1+e^-x)]
-
x
=lim
[x
+
ln(1+e^-x)]
-
x
=lim
ln(1+e^-x)
=0
即y=x是渐近线