Question

设A为对称矩阵，证明A为正交矩阵的充要条件为A^2=E

Answer 1

必要性：若A为正交矩阵，则ATA=E
(AT表示A的转置）
又A为对称矩阵，故AT=A
所以
A^2=E
充分性：若A为对称矩阵，即AT=A，且
A^2
=E
所以
ATA=A^2=E
故A为正交矩阵。

Answer 2

（1）证明假设a+e不可逆，则|a+e|=0
所以-1是a的一个特征值
设ξ是属于-1的一个特征向量
则a^2ξ
=
a(-ξ)
=
-aξ
=
ξ
但a^2=a
所以a^2ξ
=
aξ
=
-ξ
矛盾