Question

求由y=x^3 ，x=2，y=0所围成的图形分别绕x轴和y轴旋转一周得到的旋转体积？求解谢谢啦！

Answer 1

首先要画出图形，确定出围成的封闭图形。显然为一个曲边三角形。

绕x轴旋转：

V=∫(0,2)π(x^3)^2dx

=π∫(0,2)(x^6)dx

=π×1/7×(x^7)|(0,2)

=π×1/7×(2^7-0^7)

=128π/7。

概念：

坐标系是理科常用辅助方法。如果物体沿直线运动，为了定量描述物体的位置变化，可以以这条直线为x轴，在直线上规定原点、正方向和单位长度，建立直线坐标系。一般来说，为了定量地描述物体的位置及位置的变化，需要在参考系上建立适当的坐标系（coordinate system）。

坐标系可分为：

直线坐标系：物体在一条直线上运动，只需建立直线坐标系。

平面直角坐标系：物体在某一平面内运动。

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 3

解：
先移轴，将x轴y=0移至y'=8，所以原y=x³变为y'=x³-8
以下均为xy'坐标为准
由y'=x³-8易解得底面半径r=2
取旋转体底面任意点所在环面的环半径为δr，其对应的高为y'=|x³-8|=|r³-8|=8-r³
所以环柱的体积为δv=2πr·δr·y''=2πr·δr·(8-r³)
对上面微分等式对r进行积分可得
v=∫2πr·(8-r³)dr
(0≤r≤2)
计算可得v=24π

Answer 4

首先要画出图形，确定出围成的封闭图形。显然为一个曲边三角形。
绕x轴旋转：
V=∫(0,2)π(x^3)^2dx
=π∫(0,2)(x^6)dx
=π×1/7×(x^7)|(0,2)
=π×1/7×(2^7-0^7)
=128π/7
（体积单位）
绕y轴旋转：
V=∫(0,8)π(y^1/3)^2dy
=π∫(0,8)(y^2/3)dx
=π×3/5×(y^5/3)|(0,8)
=π×3/5×(8^5/3-0^5/3)
=96π/5
（体积单位）
不明白请追问。