Question

求极限时使用等价无穷小的条件

Answer 1

求极限时使用等价无穷小的条件：
1、被代换的量，在去极限的时候极限值为0。
2、被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。
无穷小就是以数零为极限的变量。然而常量是变量的特殊一类，就像直线属于曲线的一种。确切地说，当自变量x无限接近某个值x0(x0可以是0、∞、或是别的什么数)时，函数值f(x)与零无限接近，即f(x)=0，则称f(x)为当x→x0时的无穷小量。

Answer 2

举个例子
（sinx-tanx）/x^3
x趋近于0的极限
sinx=x+o1（x）
tanx=o2（x）
sinx-tanx=o1（x）-o2（x）=o（x）
[o1（x）o2（x）o（x）都是x高阶无穷小]
因为二者相减吧已知的部分都抵消掉了
剩下的部分是o（x）是一个未知阶数的无穷小（只知道它比x高阶）
可能是x^2的等价无穷小
这是极限为∞
也可能是x^3的等价无穷小
这时极限为常数
如果是x^4的等价无穷小
那么极限就是0了
所以当加减变换把已知部分抵消掉的时候不能用等价无穷小代换
否则就可以
比如说sinx+tanx=2x+o（x）
就是0了
还有比较特殊的情况
比如说sinx-tanx/x
x趋近于0的极限
这时等价无穷小代换可得o（x）/x
因为o（x）是x的高阶无穷小
所以极限为零
总的来说就是不能肯定的时候
代换时加上高阶无穷小余项

Answer 3

无穷小就是零的意思，等价就是替换的意思，等价无穷小就是把一个等于零的式子换成另一个等于零式子的意思。
因此，条件1.就是式子趋近于零，说白了就是把极限值带进去式子等于零。
条件2.乘除才能使用等价无穷小（理解不了这条，记住就行）
🙄