Question

设二维随机变量(X,Y)在以(0,0),(0,1),(1,0)为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求COV(X,Y),Pxy.

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

cov(X,Y)=-1/36，ρXY=-1/2，下面是过程。
（1）在三角形内，因为密度均匀，所以概率密度函数p(X,Y)=1/该三角形面积=1/(1/2)=2。
（2）计算E(X)，E(X^2)，E(Y)，E(Y^2)，D(X)和D(Y)。
E(X)=积分X(0到1)积分Y(0到1-x)x*p(x,y)dydx=积分X(0到1)x(1-x)*2dx=(x^2-2/3*x^3)|(0,1)=1/3。
E(X^2)=积分X(0到1)积分Y(0到1-x)x^2*p(x,y)dydx=积分X(0到1)x^2*(1-x)*2dx=(2/3*x^3-1/2*x^4)|(0,1)=1/6。
因为X,Y对称，所以E(Y)=1/3，E(Y^2)=1/6。
所以D(X)=E(X^2)-E(X)*E(X)=1/6-1/3*1/3=1/18，同理D(Y)=1/18。
（3）E(XY)=积分X(0到1)积分Y(0到1-x)xy*p(x,y)dydx=积分X(0到1)x(1-x)^2dx=(1/2*x^2-2/3*x^31/4*x^4)|(0,1)=1/12。
（4）所以，根据定义：
COV(X,Y)=E(XY)-E(X)*E(Y)=1/12-1/3*1/3=-1/36。
ρXY=COV(X,Y)/(根号D(X)*根号D(Y))=-1/36/(1/18)=-1/2。