Question

拉格朗日中值定理的条件是充分必要的吗

Answer 1

拉格朗日中值定理的条件是充分而非必要的，例如函数f(x)=__|x|___在区间___(负无穷，正无穷)____上连续，但在此区间内非处处可导，却存在使定理的结论成立。

函数在某一点的极限不一定等于该点处的函数值；但如果这个函数是某个函数的导函数，则只要这个函数在某点有极限，那么这个极限就等于函数在该点的取值。

意义

拉格朗日中值定理是微分中值定理的核心，其他中值定理是拉格朗日中值定理的特殊情况和推广，它是微分学应用的桥梁，在理论和实际中具有极高的研究价值。

对于曲线运动在任意一个运动过程中至少存在一个位置（或一个时刻）的瞬时速率等于这个过程中的平均速率。

拉格朗日中值定理在柯西的微积分理论系统中占有重要的地位。可利用拉格朗日中值定理对洛必达法则进行严格的证明，并研究泰勒公式的余项。从柯西起，微分中值定理就成为研究函数的重要工具和微分学的重要组成部分。

Answer 2

拉格朗日中值定理
如果函数f(x)在（a，b）上可导，[a,b]上连续，则必有一ξ∈[a,b]使得f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)
　　f(x)为y，所以该公式可写成△y=f'(x+θ△x)*△x
(0<θ<1)
　　上式给出了自变量取得的有限增量△x时，函数增量△y的准确表达式，
　　因此本定理也叫有限增量定理
定理内容
　　若函数f(x)在区间[a,b]满足以下条件:
　　(1)在[a,b]连续
　　(2)在(a,b)可导
　　则在(a,b)中至少存在一点c使f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)
简洁证明
　　证明:把定理里面的c换成x在不定积分得原函数f(x)={[f(b)-f(a)]/(b-a)}x.做辅助函数g(x)=f(x)-{f(b)-f(a)]/(b-a)}x易证明此函数在该区间满足条件:1,g(a)=g(b);2.g(x)在[a,b]连续;3.g(x)在(a,b)可导.此即罗尔定理条件,由罗尔定理条件即证
几何意义
　　若连续曲线y=f(x)在a(a,f(a)),b(b,f(b))两点间的每一点处都有不垂直与x轴的切线,则曲线在a,b间至少存在一点p(c,f(c)),使得该曲线在p点的切线与割线ab平行.