Question

设函数f(x)在【0,1】上连续，在（0,1）上可导，且f(1)=f(0)=0,f(1/2)=1,

Answer 1

可以考虑罗尔定理

答案如图所示

Answer 2

根据有关法则，f'应当连续，而且有一点是0；假如f'在定义域不等于1，那么一定小于1，则∫0～1/2
f'<1/2,这与f(1/2)=1矛盾，故题设成立

Answer 3

一、
1、令f（x）=f(x)-x
则f（1/2)=1/2,
f（1）=-1
有零点定理知，f（x）在（1/2
，1）上有零点，故存在η属于(1/2，1)，使f(η)=η
2、原式=f(x)'-1-λ(f(x)-x)=0
令f（x）=(
f(x)-x
)/e^λx
易知f(0)=0，f(η)=0
所以存在ξ属于(0，η)，使得f‘(x)=0
又因为f’(x)=（
f(x)'-1-λ(f(x)-x)
）/e^λx
所以存在ξ属于(0，η)，使f'(ξ)-λ(f(ξ)-ξ)=1。
二、
用反证法
若对于任意的x属于(0，1)，都有f‘(x)小于等于1
易知f（x）小于等于1，当f‘(x)恒等于1时等号成立，
又因为f(x)是x的非线性函数，所以f‘(x)不恒等于1
所以f(1)小于1，与已知矛盾
所以在(0，1)内至少存在一点ξ，使f'(ξ)＞1