Question

设x1x2x3x4是来自总体x~n(0,4)

设x1 x2 .x9 来自正态总体N（0,4）的简单随机样本,求常数a,b,c使Q=a(x1
+x2)^2+b(X3+X4+X5)^2+c(X6+X7+X8+X9)^2服从x^2的分布,并且求其自由度.
可根据x^2的定义得出a=1/8,b=1/12,c=1/16,自由度为3.答案是这样的,但是我觉得a.b.c的值也可以取0,这样自由度可以是1或2或3,求老师解答.

Answer 1

x1+x2~N(0,8)
x3+x4+x5~N(0,12)
x6+x7+x8+x9~N(0,16)
由于x^2分布定义为标准正态分布的平方和,因此a(x1+x2),b(x3+x4+x5),c(x6+x7+x8+x9)均服从N(0,1)
可得a=1/8,b=1/12,c=1/16
三个正态分布的和,因此自由度为3