Question

高中函数值域的求法

Answer 1

函数值域求法十一种

在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下，供参考。
1. 直接观察法
对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例1. 求函数 的值域。
解：∵
∴
显然函数的值域是：

例2. 求函数 的值域。
解：∵

故函数的值域是：

2. 配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例3. 求函数 的值域。
解：将函数配方得：
∵
由二次函数的性质可知：当x=1时， ，当 时，
故函数的值域是：[4，8]

3. 判别式法
例4. 求函数 的值域。
解：原函数化为关于x的一元二次方程

（1）当 时，

解得：
（2）当y=1时， ，而
故函数的值域为

例5. 求函数 的值域。
解：两边平方整理得： （1）
∵
∴
解得：
但此时的函数的定义域由 ，得
由 ，仅保证关于x的方程： 在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为 。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
∵

代入方程（1）
解得：
即当 时，
原函数的值域为：
注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。

4. 反函数法
直接求函数的值域困难时，可以通过求其反函数的定义域来确定原函数的值域。
例6. 求函数 值域。
解：由原函数式可得：
则其反函数为： ，其定义域为：
故所求函数的值域为：

5. 函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。
例7. 求函数 的值域。
解：由原函数式可得：
∵
∴
解得：
故所求函数的值域为

例8. 求函数 的值域。
解：由原函数式可得： ，可化为：

即
∵
∴
即
解得：
故函数的值域为

6. 函数单调性法
例9. 求函数 的值域。
解：令
则 在[2，10]上都是增函数
所以 在[2，10]上是增函数
当x=2时，
当x=10时，
故所求函数的值域为：

例10. 求函数 的值域。
解：原函数可化为：
令 ，显然 在 上为无上界的增函数
所以 ， 在 上也为无上界的增函数
所以当x=1时， 有最小值 ，原函数有最大值
显然 ，故原函数的值域为

7. 换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。

例11. 求函数 的值域。
解：令 ，
则
∵
又 ，由二次函数的性质可知
当 时，
当 时，
故函数的值域为

例12. 求函数 的值域。
解：因
即
故可令
∴

∵

故所求函数的值域为

例13. 求函数 的值域。
解：原函数可变形为：
可令 ，则有

当 时，
当 时，
而此时 有意义。
故所求函数的值域为

例14. 求函数 ， 的值域。
解：

令 ，则

由
且
可得：
∴当 时， ，当 时，
故所求函数的值域为 。

例15. 求函数 的值域。
解：由 ，可得
故可令

∵

当 时，
当 时，
故所求函数的值域为：

8. 数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。
例16. 求函数 的值域。

解：原函数可化简得：
上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2）， 间的距离之和。
由上图可知，当点P在线段AB上时，
当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，
故所求函数的值域为：

例17. 求函数 的值域。
解：原函数可变形为：

上式可看成x轴上的点 到两定点 的距离之和，
由图可知当点P为线段与x轴的交点时， ，
故所求函数的值域为

例18. 求函数 的值域。
解：将函数变形为：
上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点 到点 的距离之差。
即：
由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点 ，则构成 ，根据三角形两边之差小于第三边，有
即：
（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有
综上所述，可知函数的值域为：

注：由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A、B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A，B两点在x轴的同侧。
如：例17的A，B两点坐标分别为：（3，2）， ，在x轴的同侧；例18的A，B两点坐标分别为（3，2）， ，在x轴的同侧。

9. 不等式法
利用基本不等式 ，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
例19. 求函数 的值域。
解：原函数变形为：

当且仅当
即当 时 ，等号成立
故原函数的值域为：

例20. 求函数 的值域。
解：

当且仅当 ，即当 时，等号成立。
由 可得：
故原函数的值域为：

10. 一一映射法
原理：因为 在定义域上x与y是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。
例21. 求函数 的值域。
解：∵定义域为
由 得
故 或
解得
故函数的值域为

11. 多种方法综合运用
例22. 求函数 的值域。
解：令 ，则
（1）当 时， ，当且仅当t=1，即 时取等号，所以
（2）当t=0时，y=0。
综上所述，函数的值域为：
注：先换元，后用不等式法

例23. 求函数 的值域。
解：

令 ，则

∴当 时，
当 时，
此时 都存在，故函数的值域为
注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用 的有界性。
总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。

Answer 2

1．观察法
用于简单的解析式。
y＝1－√x≤1,值域(－∞, 1]
y=(1+x)/(1-x)=2/(1-x)-1≠-1,值域(－∞,-1)∪(-1,＋∞).
2.配方法
多用于二次(型)函数。
y＝x^2-4x+3=(x-2)^2-1≥-1,值域[-1, ＋∞）
y=e^2x-4e^x-3=(e^x-2)^2-7≥-7,值域[-7,＋∞）
3. 换元法
多用于复合型函数。
通过换元，使高次函数低次化，分式函数整式化，无理函数有理化，超越函数代数以方便求值域。
特别注意中间变量（新量）的变化范围。
y=-x+2√( x-1)+2
令t=√(x-1),
则t≤0, x=t^2+1.
y=-t^2+2t+1=-(t-1)^2+2≤1,值域(－∞, 1].
4. 不等式法
用不等式的基本性质，也是求值域的常用方法。
y=（e^x+1）/(e^x-1), (0<x<1).
0<x<1,
1<e^x<e, 0<e^x-1<e-1,
1/(e^x-1)>1/(e-1),
y=1+2/(e^x-1)>1+2/(e-1).值域(1+2/(e-1),＋∞).
5. 最值法
如果函数f(x)存在最大值M和最小值m.那么值域为[m,M].
因此,求值域的方法与求最值的方法是相通的.
6. 反函数法
有的又叫反解法.
函数和它的反函数的定义域与值域互换.
如果一个函数的值域不易求,而它的反函数的定义域易求.那么,我们通过求后者而得出前者.
7. 单调性法
若f(x)在定义域[a, b]上是增函数,则值域为[f(a), f(b)].减函数则值域为
[f(b), f(a)].