Question

急急急，数学大神求教

24、（本题12 分）如图，△ABC 是边长为4 的等边三角形，P 是AC 上一个动点，由A 向C 运动（P不与A、C 重合），Q 是CB 延长线上一动点（Q 不与B 重合），由B 沿着CB 延长线方向移动，且P 和Q 得运动速度相同，过点P 作PE⊥AB 于E，过点Q 作QF⊥AB 的延长线点于F。若设AP 长为x.（1）用x 的代数式表示PC= ,QC= .（2）当PQ⊥AC 时，求AP 的长度？（3）线段EP 和FQ 存在什么等量关系？说明理由。（4）点P 和Q 在运动的过程中，ED 的长度是否发生变化？如果不变，求出ED 的长度，如果变化，

Answer 1

本题数据

（1）PC=AC-AP=4-x,QB=AP=x,QC=QB+BC=x+4

(2)QP⊥AC时，Rt△QPC，∠C=60°，QC=2PC，4+x=2（4-x），3x=4，x=4/3

（3）Rt△APE≌Rt△BQF：

QB=AP（已知），∠QBF=∠ABC（对顶角）=∠A（△ABC等边），

∴Rt△APE≌Rt△BQF（角边角）

∴BF=AE，AB=EF，QF=PE；

（4）

QF、PE⊥AB，∴QF∥PE，

QF∥=PE，

∴EPFQ是平行四边形（或Rt△DEP≌Rt△DFQ），

∴DE=DF=EF/2=AB/2=2

Answer 2

(1). PC=4-x；QC=4+x；
(2). PQ⊥AC时，设AP=a，则AD=a/cos60°=2a；在∆QDB中，∠QDB=30°；∠QBD=120°；
∴∠DQB=30°; 故DB=QB=AP=a； ∴有等式：AB=AD+DB=2a+a=3a=4；∴a=AP=4/3；
(3). EP=APsin60°；在RT∆QBF中，∠QBF=60°; 故FQ=QBsin60°=APsin60°;
即恒有 ：EP=FQ;
(4). 设AP=x；∠ADP=α；那么 AE=APcosA=xcos60°=(1/2)x；
EP=xsinA=xsin60°=(√3/2)x；∴ED=EPcotα=(x√3/2)cotα........①； BF=(1/2)QB=(1/2)x；
在∆QBD中，∠QDB=α；∠QBD=120°; 故∠DQB=60°-α；
由正弦定理：DB/sin(60°-α)=QB/sinα，其中QB=AP=x；
故DB=(x/sinα)sin(60°-α)=(x/sinα)[(√3/2)cosα-(1/2)sinα]=(√3/2)xcotα-(1/2)x；
AB=AE+ED+DB=(1/2)x+(√3/2)xcotα+(√3/2)xcotα-(1/2)x=(√3)xcotα=4；
∴cotα=4/(x√3); 代入①式即得 ED=
∴ED=(x√3/2)cotα=(x√3/2)•4/(x√3)=4/2=2=常量。
即ED始终是AB的一半，与P点在AC上(P不与A，C重合)的位置无关。

Answer 3

4-x，4+x