Question

设f(x)是周期为2π的周期函数,f(x)=x平方(-π<x≤π),将f(x)展开成傅立叶级数

Answer 1

解：分享一种解法。根据傅里叶级数的定义，f(x)=(a0)/2+∑[(an)cos(nx)+(bn)sin(nx)]，其中，n=1,2,…,∞。而，a0=(1/π)∫(-π,π)f(x)dx=(1/π)∫(-π,π)(3x2+1)dx=2(π2+1)。
an=(1/π)∫(-π,π)f(x)cos(nx)dx=(1/π)∫(-π,π)(3x2+1)cos(nx)dx=12(-1)^n/n2。
bn=(1/π)∫(-π,π)f(x)sin(nx)dx。∵f(x)sin(nx)在积分区间是奇函数，其值为0，∴bn=0。
∴f(x)=π2+1+12∑[(-1)^n/n2]cos(nx)，其中，n=1,2,…,∞。供参考。