Question

在梯形ABCD中，AD平行于BC，AB等于AD+BC，M为CD中点，求证AM垂直BM

Answer 1

过M作MN//BC交AB于点N,因为M为CD的中点,MN为梯形的中位线,有MN=1/2(AD+BC)
因为AB=AD+BC,N为AB的中点,所以AF=FB=1/2(AD+BC),则MF=AF=FB
得∠NAM=∠NMA,∠NBM=∠NMB,有∠NAM+∠NMA+∠NBM+∠NMB=180°,
即2(∠NMA+∠NMB)=180°,所以∠NMA+∠NMB=90°,可知AM垂直于BM

Answer 2

证明：过点M做MF//BC交AB于点F
因为四边形ABCD是直角梯形，M为CD的中点
所以MF为直角梯形的中位线
所以MF=1/2(AD+BC)
因为AB=AD+BC
F为AB的中点
所以AF=FB=1/2(AD+BC)
所以MF=AF=FB
因为角AFM=角MFB=90°
所以角FAM=角FMA=45°
角FBM=角FMB=45°
所以角AMB=角FMA+角FMB=45°+45°=90°
所以AM垂直于BM

Answer 3

证明：过点M做MF//BC交AB于点F
因为四边形ABCD是直角梯形，M为CD的中点
所以MF为直角梯形的中位线
所以MF=1/2(AD+BC)
因为AB=AD+BC
F为AB的中点
所以AF=FB=1/2(AD+BC)
所以MF=AF=FB
所以，∠AMF=∠FAM=∠MAD，∠FBM=∠MBC=∠FMB，即AM、BM分别是∠BAD、∠ABC的角平分线
所以，∠FAM+∠FBM=90°，所以，∠AMB=90°，即AM⊥BM