Question

求方程式的通解！y″-y′-2y=0;求此微分方程的通解！2y″+y′-y=2e^x;

Answer 1

1。y″-y′-2y=0
解：∵原方程的特征方程是r²-r-2=0，则r1=2,r2=-1
∴原方程的通解是y=C1e^(2x)+C2e^(-x)
(C1,C2是积分常数)；
2。2y″+y′-y=2e^x
解：∵齐次方程2y″+y′-y=0的特征方程是2r²+r-1=0，则r1=1/2,r2=-1
∴齐次方程2y″+y′-y=0的通解是y=C1e^(x/2)+C2e^(-x)
(C1,C2是积分常数)
∵设原方程的一个解为y=Ae^x
代入原方程得2Ae^x=2e^x
==>A=1
∴原方程的一个解是y=e^x
故原方程的通解是y=C1e^(x/2)+C2e^(-x)+e^x
(C1,C2是积分常数)。