Question

一道数学题(回答好的有悬赏)

图1，在平面直角坐标系中，已知点A(0.，4根号下3)，点B在x正半轴上，且∠ABO=30°，动点P在线段AB上从点A向点B 以每秒 根号下3 个单位的运动速度，设运动时间为t秒，在x轴上取两点M,N作等边△PMN。(1)求直线AB的解析式。(2)求等边△PMN的边长(用t的代数式表示)，并求出当等边△PMN的顶点M运动到与原点O重合时t的值(3)如果去OB的重点为D，以OD为边在RT△AOB内部作如图2所示的矩形ODCD，点C在线段AB上，设等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为S，请求出当0＜t≤2秒时S与t的函数关系式，并求出S的最大值

Answer 1

1)求直线AB解析式;
在Rt△ABO中，AO=4√3，∠ABO=30°
所以，AB=2AO=8√3
故根据勾股定理有，B0=12
所以，B(12,0)
设AB所在直线的解析式为:y=kx+b
将A(0,4√3)、B(12,0)代入上式，得到:
k=-√3/3
b=4√3
所以，y=(-√3/3)x+4√3
(2)求等边△PMN的边长(用t的代数式表示)，并求出当等边△PMN的顶点M运动到与原点O重合时t的值;
因为△PMN为等边三角形，所以:∠MPN=∠PNM=60°
而，∠PNM=∠NPB+∠B=∠NPB+30°
所以，∠NPB=30°
所以，∠MPB=∠MPN+∠NPM=60°+30°=90°
即，MP⊥AB
亦即，△MPB为直角三角形
又，PM=MN=PN=BN
所以，N为Rt△MPB中点
所以，PM=MN=PN=BM/2
当AP=√3t时，PB=8√3-√3t=√3*(8-t)
那么，在Rt△MPB中，MBP=30°
所以，BM=[√3*(8-t)]/(√3/2)=2*(8-t)
所以，PM=NM=PN=BM/2=(8-t)
当M与O重合时，Rt△PMB即为Rt△PBO
此时，PM=PO=BO/2=6
所以:8-t=6
t=2
(3)如果取OB的中点D，以OD为边在Rt△AOB内部作如图2所示的矩形ODCE，点C在线段AB上，设等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为S，请求出当0≤t≤2秒时S与t的函数关系式，并求出S的最大值。
如图，设PM交CE于F，交AO于H;PN交CE于G
由(2)知，当t=2时，M与O重合
而，当t=1时，PM经过点E
所以，当0≤t≤1时，△OMN与矩形ODCE的重叠部分为直角梯形ONGE
而，当1≤t≤2时，△OMN与矩形ODCE的重叠部分为图中阴影部分
过点P作AO的垂线，垂足为Q;作CE的垂线，垂足为S
因为D是BO中点，所以:C、E分别为AB、AO中点
所以，点C(6,2√3)
因为PQ//CE//BO
所以:AP/AC=PQ/CE
即:(√3t)/(4√3)=PQ/6
所以，PQ=3t/2
所以，由勾股定理有:AQ=√3t/2
所以，QE=PS=AE-AQ=2√3-(√3t/2)
因为CE//BO，所以:△PFG∽△PMN
即，△PFG也为等边三角形
而，PS⊥FG
所以，S为FG中点
且∠GPC=∠GCP=30°
所以，PG=GC
那么，FG=GC=(2/√3)*PS=(2/√3)*[2√3-(√3t/2)]=4-t
而，CE=OD=6
所以，EF+FG+GC=EF+2*FG=EF+(8-2t)=6
所以:EF=2t-2
所以，EG=EF+FG=2t-2+4-t=t+2
而，在Rt△EFH中，∠EHF=30°
所以，EH=(√3)EF
所以，Rt△EFH的面积=(1/2)EF*EH=(√3/2)EF^2
=(√3/2)*[2(t-1)]^2
=2√3(t-1)^2
由(1)知，BN=PN=8-t
所以，ON=OB-BN=12-(8-t)=4+t
所以，直角梯形ONGE的面积=[(EG+ON)*OE]/2
=[(t+2+4+t)*2√3]/2
=2√3(t+3)
所以，阴影部分的面积S=[2√3(t+3)]-[2√3(t-1)^2]
=(2√3)[(t+3)-(t-1)^2]
=(2√3)(-t^2+3t+2)
因为1≤t≤2，所以，二次函数-t^2+3t+2有最大值
则，当t=-b/2a=3/2时:
Smax=17/4