Question

设A是实对称矩阵，且A^2=0,证明：A=0

Answer 1

如下：

设A是n阶方阵，第i行j列元素是aij。

A的转置记为A^T，则

0＝A^2＝A×A^T

所以A×A^T的主对角线元素。

(an1)^2＋(an2)^2＋......＋(ann)^2＝0

所以，aij＝0，（i，j＝1，2，...，n）

所以，A＝0。

矩阵相乘最重要的方法是一般矩阵乘积。它只有在第一个矩阵的列数（column）和第二个矩阵的行数（row）相同时才有意义。一般单指矩阵乘积时，指的便是一般矩阵乘积。一个m×n的矩阵就是m×n个数排成m行n列的一个数阵。

注意事项

1、当矩阵A的列数（column）等于矩阵B的行数（row）时，A与B可以相乘。

2、矩阵C的行数等于矩阵A的行数，C的列数等于B的列数。

3、乘积C的第m行第n列的元素等于矩阵A的第m行的元素与矩阵B的第n列对应元素乘积之和。

Answer 2

简单分析一下，详情如图所示

Answer 3

A是实对称矩阵
A＝﹙aij﹚
aij＝aji
从aij²＝0
可得aij＝0
看A²的i行i列交点元素﹙A²﹚ii＝∑[1≤k≤n]aikaki＝∑[1≤k≤n]aikaik＝∑[1≤k≤n]aik²＝0[∵A²＝0]
∴aik²＝0
aik＝0
A的第i行全为0.
i任意。A的每一行都全为0.A＝0

Answer 4

使用反证法，
假设实对称矩阵A不为0矩阵
那么A的秩>0即R(A)>0
由于是实对称矩阵
那么可以得到以下结论
A
=
A(T)即A和A的转置相等
A*A
=
A*A(T)
R(A)
=
R（A*A(T)）
则A*A的秩不为0
则必不为0矩阵
所以A为0矩阵

Answer 5

a是实对称矩阵，
存在正交矩阵p
使得
p^(-1)·a·p=∧=diag(λ1,λ2,……,λn)
其中，λ1,λ2,……,λn是a的特征值，
∴a=p·∧·p^(-1)
∴o=a^2=p·∧^2·p^(-1)
∴∧^2=o
∴∧=o
∴a=p·∧·p^(-1)=o