Question

证明：对任意实矩阵A，有r(ATA)=r(AAT)=r(A)

Answer 1

简单分析一下，详情如图所示

Answer 2

如果你知道奇异值分解，那么结论显然。
如果不知道就这样做：
若r(A)=k，那么可以用Gauss消去法把A消成梯阵，即CA=U，其中C是行初等变换的乘积，U仅有前k行非零且线性无关。
于是CAA^TC^T=UU^T，UU^T具有
B
0
0
0
的分块结构，其中B是k阶的满秩矩阵。又C是可逆的，所以r(AA^T)=r(B)=k=r(A)。
再利用r(A)=r(A^T)得r(A^T*A)=r(A^T)。