Question

已知函数f(x)＝x－2／x ＋1－a㏑x，a＞0，讨论f（x）的单调性

Answer 1

定义域x>0.
f(x)导数=1+2/x^2+a(-1/x),令其大于等于0，得a/x<=1+1/x^2，所以a<=x+1/x
因为x>0,x+1/x>=2,所以当0<a<=2时,a<=x+1/x恒成立，也就是f(x)单调递增；
a>2时,令f(x)导数<0,解得[a-根(a^2-4)]/2<x<[a+根(a^2-4)]/2，所以f(x)在此区间单调递增；同理可以得到在0<x<[a-根(a^2-4)]/2,以及x>[a+根(a^2-4)]/2时单调递增；
综合得，1)a<=2时，f(x)单调递增；
2）当a>2时，f(x)在（0，[a-根(a^2-4)]/2
]单调递增；在（
[a-根(a^2-4)]/2,[a+根(a^2-4)]/2）单调递减；在[
[a+根(a^2-4)]/2，正无穷）单调递增

回答人：潇湘诗社
☆国士无双卍

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Answer 2

f'(x)=1+2/x²-a/x=(x²-ax+2)/x²
x的定义域为(0,正无穷)，故导函数的分母恒大于0。
当判别式＜0即0<a<2*sq(2)时，导函数恒大于0，函数在定义域上恒递增
当a≥2*sq(2)时，利用二次方程求解一下，字数限制打不下

Answer 3

先求导可得f（x）^-1=1-a/x-1/x^2
设x=1/t，将x替换成t就成了一个二元方程，简单计算就可以得出
0<x<(a+根号下a^2+8)/2
f(x)单调递减
x>(a+根号下a^2+8)/2
f(x)单调增加