Question

在三角形ABC中，∠B=60°，AD,CE分别是∠BAC,∠BCA的平分线，AD,CE相较于点F，求证：FE=FD?

Answer 1

若∠ACB≠∠BAC时,EF≠FD，∠ACB=∠BAC时,EF=FD.
具体证明如下：
过点F作FG⊥AB于点G，FH⊥BC于点H，连接BF，
∵三角形3条角平分线相交于一点，
∴BF是∠ABC的角平分线，FG=FH，
而∠DAB=1/2∠BAC,∠ECB=1/2∠ACB，当∠ACB=∠BAC时，
∴∠DAB=∠ECB，
又∠FGA=∠FHC=90°，
∴ΔFGA≌ΔFHC，
∴AF=CF，
而∠EFA=∠DFC，
∴ΔFEA≌ΔFDC，
∴∠FEA=∠FDC，
∴RTΔFEG≌RTΔFDH，
∴EF=FD；
而当∠ACB≠∠BAC时，∠FEA≠∠FDC
RTΔFEG与RTΔFDH不可能成立，
即：EF≠FD

Answer 2

FE与FD相等。
在AC上取点G，使CG＝CD，△CDF全等△CGF
DF＝GF
∠CEA＝60+45＝105度
∠FGA＝∠FCA+∠CFG＝∠ECD+∠DFC=∠ADB＝15+90＝105
∠CEA＝∠FGA
可证在△AFG全等△AFE
GF＝FE，所以，FE与FD相等