求正交变换x=Py 将下列二次型化为标准型 f=x1^2+4x2^2+4x3^2-4x1x2+4x1x3-8x2x3

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诸葛清竹士戌
2019-09-28 · TA获得超过3.8万个赞
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f(x1,x2,x3)=2x1x2+2x1x3+2x2x3对应的实对称矩阵为
A=[(0,1,1)T,(1,0,1)
T,(1,1,0)
T];下面将其对角化:
先求A的特征值,由|kE-A|=|(k,-1,-1)
T,(-1,k,-1)
T,(-1,-1,k)
T
|=(k-2)*(k+1)^2=0
解得:k=2或k=-1(二重)。
下求方程(kE-A)Z=0的解向量
对特征值k=2,(2E-A)Z=0解得特征向量Z=(1,1,1)T,
单位化α1=(1/√3,
1/√3,
1/√3)
T.
对特征值k=-1,(-E-A)Z=0解得特征向量Z=(1,-1,0)T或(1,0,-1)T,
Schmidt正交化得
α2=(1/√2,-1/√2,0)T,α3=(1/√6,1/√6,-2/√6)
T,
取正交矩阵P=(α1,α2,α3)
=[
(1/√3,
1/√3,
1/√3)
T,
(1/√2,-1/√2,0)T,(1/√6,1/√6,-2/√6)
T]
则有PTAP=diag(2,-1,-1).
对二次型f(x1,x2,x3)=2x1x2+2x1x3+2x2x3=XTAX作正交变换X=PY得
f(X)=YT(QTAQ)Y=2y1^2-y2^2-y3^2.
得到标准型f(Y),P为所求正交变换。
T代表对矩阵或向量的转置。
建议找本线性代数的书看看,实际上就是实对称矩阵的对角化。过程比较繁琐,建议检验一下。
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