Question

系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩时，方程组一定有唯一解吗

Answer 1

这种是在非齐次方程组的情况下才成立，（因为齐次方程一定有解）
无解说明初等变换后方程组中存在矛盾方程，即0=常数
也就是增广矩阵的秩大于系数矩阵的秩
假设一个方程组由5个方程组成，且无解，
它的系数矩阵的秩是3，那么在进行初等行变换的时候，有2行可以化为0，
增广矩阵是增加了一列非零数，初等变换后，只能有1行为零，另一行存在一个非零数（也就是矛盾方程），其他不变，即秩是4，所以无解时增广矩阵=系数矩阵+1
for
example:
1
2
3|
7
1
2
3
1
2
3
7
1
2
3
7
2
4
6|
8
系数矩阵初等变换=
0
0
0
增广矩阵=
0
0
0
8~~
0
0
0
8
3
6
9|
9
0
0
0
0
0
0
9
0
0
0
9
无解时，可能存在多个矛盾方程，但是经过初等行变换之后，都可以化简为一个矛盾方程，因此
非齐次方程组无解时，增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩加1。

Answer 2

这个条件只保证有解，不保证解唯一
最简单的例子是0x=0