Question

高等数学中，条件收敛和绝对收敛有什么区别？怎么理解这两个收敛？

Answer 1

高等数学中，条件收敛和绝对收敛区别为：重排不同、绝对值不同、瑕点不同。

一、重排不同

1、条件收敛：条件收敛任意重排后所得的级数非条件收敛，且有不相同的和数。

2、绝对收敛：绝对收敛任意重排后所得的级数也绝对收敛，且有相同的和数。

二、绝对值不同

1、条件收敛：条件收敛取绝对值以后对级数Σ（∞，n=1）∣Un∣发散。

2、绝对收敛：绝对收敛取绝对值以后对级数Σ（∞，n=1）∣Un∣收敛。

三、瑕点不同

1、条件收敛：条件收敛在[a,b]上存在瑕点，使得∫（b,a）f(x)dx广义积分有极值。

2、绝对收敛：绝对收敛不存在能使得∫（b,a）f(x)dx广义积分有极值的瑕点。

对任意项级数Σ（∞，n=1）Un ,若Σ（∞，n=1）∣Un∣收敛，则称原级数Σ（∞，n=1）Un 绝对收敛；若原级数Σ（∞，n=1）Un收敛，但取绝对值以后对级数Σ（∞，n=1）∣Un∣发散，则称原级数Σ（∞，n=1）Un条件收敛。 

Answer 2

先判断级数是否收敛，再判断加绝对值是否收敛，收敛则绝对，否则条件

Answer 3

极限收敛但不是绝对收敛的无穷级数或积分被称为条件收敛的。在无穷级数的研究中，绝对收敛性是一项足够强的条件，许多有限项级数具有的性质，在一般的条件收敛下的无穷级数不一定满足，只有在绝对收敛下的无穷级数才会具有该性质。
例如：
1.任意重排一个绝对收敛的级数之通项的次序，不会改变级数的和。
2.两个绝对收敛的无穷级数通项的乘积以任何方式排列成的级数和都为原来两个级数和的乘积。
3.绝对收敛的无穷级数或积分一定是条件收敛的，反之则不一定成立，因此条件收敛是绝对收敛的一个必要条件。