Question

高等数学常微分方程通解！

Answer 1

首先求y"+3y'+2y=0的通解
解特征方程x^2+3x+2=0的两根为-1和-2
所以y"+3y'+2y=0的通解为y=c1*e^(-x)+c2*e^(-2x)，其中c1，c2为任意常数
然后求y"+3y'+2y=6e^x的特解
应该说，虽然求微分方程的特解本身是相当困难的事，但一般高等数学的题目都不算很难，一般可以用观察法得到
注意到1+2+3=6，而对于y=e^x的各阶导数y'，y‘’都是e^x。可以想到特解就是y=e^x（代进去可以证实）
于是y"+3y'+2y=6e^x的通解为y=e^x+c1*e^(-x)+c2*e^(-2x)，其中c1，c2为任意常数

Answer 2

原式可变为(x^2+y^2)dy^2+d(x^2+y^2)=0
即(x^2+y^2)^-1*d(x^2+y^2)=-dy^2
以下易得，通解为(x^2+y^2)*e^(y^2)=c
（无法写为显函数）