Question

请用导数推导 圆切线公式

圆(x-a)²+(y-b)²=r² 请推导切线公式

Answer 1

圆(x-a)²+(y-b)²=r²
请推导切线公式
两边对x求导：2(x-a)+2(y-b)y'=0
--->y'=-[(x0-a)/(y0-b)]
--->切线:
y-y0=y'(x-x0)=-[(x0-a)/(y0-b)](x-x0)
--->(a-x0)(x-x0)+(b-y0)(y-y0)=0
--->(a-x0)[(x-a)+(a-x0)]+(b-y0)[(y-b)+(b-y0)]=0
--->(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=(a-x0)²+(b-y0)²=r²
--->切线:
(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r²
求过椭圆x²/a²+y²/b²=1上点P(x0,y0)的切线方程
对x求导：2x/a²+2yy'/b²=0--->y'=-(b²x0)/(a²y0)
--->切线：y-y0=y'(x-x0)=-[(b²x0)/(a²y0)](x-x0)
--->(a²y0)(y-y0)+(b²x0)(x-x0)=0
--->a²y0y
+
b²x0x
=
a²y0²+b²x0²
--->y0y/b²
+
x0x/a²
=
y0²/b²+x0²/a²
=
1
--->切线：xx0/a²
+
yy0/b²
=
1
双曲线同上，只是注意符号。
求过抛物线
y²=2px(p>0)上点P(x0,y0)的切线方程
对x求导：2yy'=2p--->y'=p/y0
--->切线：y-y0=y'(x-x0)=(p/y0)(x-x0)
--->y0(y-y0)=p(x-x0)
--->y0y
=
px
+(y0²-px0)
=
px
+
px0
--->切线：y0y
=
p(x+x0)