Question

数学题目请教

已知P是三角形ABC所在平面内的一点，若向量CB=x向量PA+向量PB，则点P一定在AC边所在的直线上 给出证明

Answer 1

可建立平面直角坐标系，设A（0，0），B（x1,y1),C(x2.y2),P(m,n)
即向量CB=（x1-x2，y1-y2）
向量PB(x1-m,x2-n)
（x1-x2，y1-y2）=x（-m,-n）+(x1-m,x2-n)
即x1-x2=-xm+x1-m
得m=x2/(1-x)
y1-y2=-xn+y1-n
得n=y2/(1-x)
P(x2/(1-x),y2/(1-x))
向量PA=(x2/(x-1),y2/(x-1))
向量AC=(x2,y2)
即 向量AC=向量PA*(x-1)
∴向量AC与向量PA共线
∴点P一定在AC边所在的直线上

Answer 2

向量CB=x向量PA+向量PB
变形为
向量CB-向量PB=x向量PA
即向量CP=x向量PA
所以向量CP与向量PA是共线向量
即C，P，A三点共线
点P一定在AC边所在的直线上