Question

已知数列{an}的n前项和为Sn，且Sn=2an-2n．（1）求数列{an}的通...

已知数列{an}的n前项和为Sn，且Sn=2an-2n． （1）求数列{an}的通项； （2）是否存在m，使{an-（n+m）2n-1}是等比数列．

Answer 1

解：（1）由题意an=sn-sn-1=2an-2n-（2an-1-2n-1）⇒an=2an-1+2n-1
∴
an
2n
=
an-1
2n-1
+
1
2
故{
an
2n
}是以
a1
2
为首项，以
1
2
为公差的等差数列
又a1=S1=2a1-21．故a1=2，
∴{
an
2n
}是以1为首项，以
1
2
为公差的等差数列
所以
an
2n
=1+
1
2
(n-1)，
∴an=（n+1）×2n-1，
（2）由（1）知an-（n+m）2n-1=（1-m）×2n-1
当m≠1，an-（n+m）2n-1}是等比数列
故存在实数m≠1，使{an-（n+m）2n-1}是等比数列．