Question

在△abc中,内角abc所对的边分别为abc,已知a=3.b-c=2,cosb=-1/2

在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知a=2,A=派／3,（1）若|AB向量+AC向量|=2√3,试判定△ABC的形状 （2）若sin A +sin (B -C )=2sin 2C ,求△ABC面积

Answer 1

（1）
|AB＋AC|=2√3,
则：|AB＋AC|²=12
,即：c²＋2bccosA＋c²=12,
因A=π/3,则：b²＋bc＋c²=12,
又：a²=b²＋c²－2bccosA=b²＋c²－bc,
即：b²－bc＋c²=4,及b²＋bc＋c²=12,
得：bc=4,b²＋c²=8,
所以b²－2bc＋c²=0即(b－c)²=0,所以b=c
,则a=b=c=2,
三角形为正三角形.
（2）
sinA＋sin(B－C)=2sin2C,
sin(B＋C)＋sin(B－C)=2sin2C,
两角和差展开等号左侧,得：2sinBcosC=4sinCcosC,
①cosC=0,此时,C=90°,A=60°,a=2,则b=2/√3,S=(1/2)ab=2√3/3；
②若cosC≠0,则sinB=2sinC,因A=60°,所以sinB=2sin(120°－B)=√3cosB＋sinB,得：B=90°,因A=60°,所以C=30°,c=a/√3=2/√3,S=(1/2)ac=2√3/3.
综合,三角形面积是2√3/3