Question

求极限 高等数学的极限求解题目，答案已知 现求解答过程。

见下图 limn^2{x^(1/n)-x^[1/(n+1)]} n趋近于无穷大

Answer 1

用麦克劳林公式
a^x=1+lna/1!*x+(lna)^2/2!*x^2+o(x^3)
n趋近于∞时，1/n和1/(n+1)均趋近于0
所以
x^(1/n)=1+lnx*(1/n)+lnx/2*(1/n)^2+o[(1/n)^3]
x^[1/(n+1)]=1+lnx*[1/(n+1)]+lnx/2*[1/(n+1)]^2+o[1/(n+1)^3]
所以
原极限表达式
=lim
n^2{1+lnx*(1/n)+lnx/2*(1/n)^2+o[(1/n)^3]-1-lnx*[1/(n+1)]-lnx/2*[1/(n+1)]^2-o[1/(n+1)^3]}
=lim
n^2*lnx*[1/n+1/n^2-1/(n+1)-1/(n+1)^2]+n^2*o(1/n^3)-n^2*o[1/(n+1)^2]
=lim
lnx*[n+1-n^2/(n+1)-n^2/(n+1)^2]
=lim
lnx*[(2n+1)/(n+1)-n^2/(n+1)^2]
=lnx
呼呼，手机打的，好累啊~
希望对楼主有所帮助，望采纳!