Question

(2013•东城区模拟)已知函数f(x)=x2+x，当x∈[n，n+1](n∈N...

(2013•东城区模拟)已知函数f(x)=x2+x，当x∈[n，n+1](n∈N+)时，f(x)的值中所有整数值的个数记为g(n). (Ⅰ)求g(2)的值，并求g(n)的表达式; (Ⅱ)设an=2n3+3n2g(n)(n∈N+)，求数列{(-1)n-1an}的前n项和Tn; (Ⅲ)设bn=g(n)2n，Sn=b1+b2+…+bn(n∈N+)，若对任意的n∈N+，都有Sn＜L(L∈Z)成立，求L的最小值.

Answer 1

解答:解:(Ⅰ)当n=2时，f(x)在[2，3]上递增，
所以6≤f(x)≤12，所以g(2)=7.----------------------------(2分)
因为f(x)在[n，n+1](n∈N+)上单调递增，
所以，n2+n≤f(x)≤(n+1)2+(n+1)=n2+3n+2，
从而g(n)=(n2+3n+2)-(n2+n)+1=2n+3.------------------(4分)
(Ⅱ)因为an=
2n3+3n2
g(n)
=
2n3+3n2
2n+3
=n2，-------------------(5分)
所以Tn=a1-a2+a3-a4+…+(-1)n-1an=12-22+…+(-1)n-1n2.----------------------------(6分)
当n是偶数时，Tn=-[1+2+3+4+…+(n-1)+n]=-
n(n+1)
2
;-----------------(8分)
当n是奇数时，Tn=12-22+…+[(n-2)2-(n-1)2]+n2=
n(n+1)
2
-------(10分)
(Ⅲ)bn=
g(n)
2n
=
2n+3
2n
，-----------------------------------(11分)
∴Sn=b1+b2+…+bn=
5
2
+
7
22
+…+
2n+1
2n-1
+
2n+3
2n
，
∴
1
2
Sn=
5
22
+
7
23
+…+
2n+1
2n
+
2n+3
2n+1
，
错位相减得
1
2
Sn=
5
2
+(
1
2
+
1
22
+…+
1
2n-1
)-
2n+3
2n+1
，-----------(12分)
所以，Sn=7-
2n+7
2n
.---------------------------------------(13分)
因为Sn=7-
2n+7
2n
＜7，
所以若对任意的n∈N+，都有Sn＜L(L∈Z)成立，则L≥7，
所以，L的最小值为7.----------------------------------------(14分)