Question

x→0，lim(1-cosx)[x-ln(1+tanx)]/sinx^4的极限

Answer 1

洛必达法则

=lim(1/2)*[1-(secx)^2/(1+tanx)

]/(2x)

=lim(1/2)*[1+tanx-(secx)^2]/[2x(1+tanx)]

=lim(1/2)*[tanx-(tanx)^2]/[2x(1+tanx)]

再用等价无穷小代换，tanx可换为x

=lim(1/2)*(1-tanx)/[2(1+tanx)]

=1/4

其中：[x-ln(1+tanx)]'=1-(secx)^2/(1+tanx)

求极限基本方法有：

1、分式中，分子分母同除以最高次，化无穷大为无穷小计算，无穷小直接以0代入。

2、无穷大根式减去无穷大根式时，分子有理化。

3、运用洛必达法则，但是洛必达法则的运用条件是化成无穷大比无穷大，或无穷小比无穷小，分子分母还必须是连续可导函数。

Answer 2

简单分析一下，答案如图所示

Answer 3

首先用等价无穷小代换，(1-cosx)换成1/2x^2，sinx^4换成x^4
lim(1-cosx)[x-ln(1+tanx)]/sinx^4
=lim(1/2)x^2[x-ln(1+tanx)]/x^4
=lim(1/2)[x-ln(1+tanx)]/x^2
洛必达法则
=lim(1/2)*[1-(secx)^2/(1+tanx)
]/(2x)
=lim(1/2)*[1+tanx-(secx)^2]/[2x(1+tanx)]
=lim(1/2)*[tanx-(tanx)^2]/[2x(1+tanx)]
再用等价无穷小代换，tanx可换为x
=lim(1/2)*(1-tanx)/[2(1+tanx)]
=1/4
其中：[x-ln(1+tanx)]'=1-(secx)^2/(1+tanx)