Question

高等数学二重积分问题请教。图中计算题第一题怎么做?

Answer 1

题积分区域---圆域圆心(1/2,1/2)半径(√2)/2
因圆心非原点所无论用直角坐标还极坐标上下限都好确定所应想把圆域平移原点处即用坐标变换
二重积分坐标变换涉及雅克比公式般来说比较麻烦而此题只平移涉及旋转变形之类得所省去雅克比过程
令x=(1/2)+uy=(1/2)+v,则积分圆域变(0,0)圆心(√2)/2半径
而原积分=∫∫(1+u+z)dudv
因变换积分区域关于u轴和v轴都对称
且被积函数1+u+z关于u和v分别奇函数
所∫∫ududv=∫∫vdudv=0
故∫∫(1+u+z)dudv=∫∫dudv=变换圆域面积=π/2
(注意平移时候能像样代入因雅克比行列式等于1其变换还要乘雅克比行列式)