四种三角函数图像

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Miss西瓜头

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三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的函数。它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中,但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解,将其定义扩展到复数系。
三角函数公式看似很多、很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律,就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。
记背诀窍:奇变偶不变,符号看象限[2].即形如(2k+1)90°±α,则函数名称变为余名函数,正弦变余弦,余弦变正弦,正切变余切,余切变正切。形如2k×90°±α,则函数名称不变。
诱导公式口诀“奇变偶不变,符号看象限”意义:
k×π/2±a(k∈z)的三角函数值
(1)当k为偶数时,等于α的同名三角函数值,前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号;
  (2)当k为奇数时,等于α的异名三角函数值,前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。
记忆方法一:奇变偶不变,符号看象限:
  奇变偶不变:其中的奇偶是指π/2的奇偶数倍,变与不变是指三角函数名称的变化,若变,则是正弦变余弦,正切变余切。
符号看象限:根据角的范围以及三角函数在哪个象限的正负,来判断新三角函数的符号。
记忆方法二:无论α是多大的角,都将α看成锐角.
 
以诱导公式二为例:
若将α看成锐角(终边在第一象限),则π+α是第三象限的角(终边在第三象限),正弦函数的函数值在第三象限是负值,余弦函数的函数值在第三象限是负值,正切函数的函数值在第三象限是正值。这样,就得到了诱导公式二。
  以诱导公式四为例:
  若将α看成锐角(终边在第一象限),则π-α是第二象限的角(终边在第二象限),正弦函数的三角函数值在第二象限是正值,余弦函数的三角函数值在第二象限是负值,正切函数的三角函数值在第二象限是负值。这样,就得到了诱导公式四。
诱导公式的应用:
运用诱导公式转化三角函数的一般步骤:
  特别提醒:三角函数化简与求值时需要的知识储备:①熟记特殊角的三角函数值;②注意诱导公式的灵活运用;③三角函数化简的要求是项数要最少,次数要最低,函数名最少,分母能最简,易求值最好。
基本公式
和差角公式
二角和差公式
三角和公式
和差化积公式
口诀:正加正,正在前,余加余,余并肩,正减正,余在前,余减余,负正弦.
积化和差公式
倍角公式
二倍角公式
三倍角公式
证明:
sin3a
=sin(a+2a)
=sin2a·cosa+cos2a·sina
=2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina
=3sina-4sin3a
cos3a
=cos(2a+a)
=cos2acosa-sin2asina
=(2cos2a-1)cosa-2(1-cos2a)cosa
=4cos3a-3cosa
sin3a
cos3a
上述两式相比可得:
tan3a
四倍角公式
sin4a=-4×[cosa·sina·(2×sin2a-1)]
cos4a=8cos4a-8cos2a+1
tan4a=(4tana-4tan3a)/(1-6tan2a+tan4a)[3]
五倍角公式
n倍角公式
应用欧拉公式:
.
上式用于求n倍角的三角函数时,可变形为:
所以
其中,Re表示取实数
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