Question

四种三角函数图像

Answer 1

三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的函数。它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。
三角函数公式看似很多、很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律，就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。
记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限[2]．即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如2k×90°±α，则函数名称不变。
诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义：
k×π/2±a(k∈z)的三角函数值
（1）当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号；
　　（2）当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。
记忆方法一：奇变偶不变，符号看象限：
　　奇变偶不变：其中的奇偶是指π/2的奇偶数倍，变与不变是指三角函数名称的变化，若变，则是正弦变余弦，正切变余切。
符号看象限：根据角的范围以及三角函数在哪个象限的正负，来判断新三角函数的符号。
记忆方法二：无论α是多大的角，都将α看成锐角．
　
以诱导公式二为例：
若将α看成锐角（终边在第一象限），则π+α是第三象限的角（终边在第三象限），正弦函数的函数值在第三象限是负值，余弦函数的函数值在第三象限是负值，正切函数的函数值在第三象限是正值。这样，就得到了诱导公式二。
　　以诱导公式四为例：
　　若将α看成锐角（终边在第一象限），则π-α是第二象限的角（终边在第二象限），正弦函数的三角函数值在第二象限是正值，余弦函数的三角函数值在第二象限是负值，正切函数的三角函数值在第二象限是负值。这样，就得到了诱导公式四。
诱导公式的应用：
运用诱导公式转化三角函数的一般步骤：
　　特别提醒：三角函数化简与求值时需要的知识储备：①熟记特殊角的三角函数值；②注意诱导公式的灵活运用；③三角函数化简的要求是项数要最少，次数要最低，函数名最少，分母能最简，易求值最好。
基本公式
和差角公式
二角和差公式
三角和公式
和差化积公式
口诀：正加正，正在前，余加余，余并肩，正减正，余在前，余减余，负正弦．
积化和差公式
倍角公式
二倍角公式
三倍角公式
证明：
sin3a
=sin(a+2a)
=sin2a·cosa+cos2a·sina
=2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina
=3sina-4sin3a
cos3a
=cos(2a+a)
=cos2acosa-sin2asina
=(2cos2a-1)cosa-2(1-cos2a)cosa
=4cos3a-3cosa
sin3a
cos3a
上述两式相比可得：
tan3a
四倍角公式
sin4a=-4×[cosa·sina·(2×sin2a-1)]
cos4a=8cos4a-8cos2a+1
tan4a=(4tana-4tan3a)/(1-6tan2a+tan4a)[3]
五倍角公式
n倍角公式
应用欧拉公式：
.
上式用于求n倍角的三角函数时，可变形为：
所以
其中，Re表示取实数