Question

已知数列{an}中，a1=2，an-an-1-2n=0（n≥2，n∈N）．（1）...

已知数列{an}中，a1=2，an-an-1-2n=0（n≥2，n∈N）． （1）写出a2、a3的值（只写结果）并求出数列{an}的通项公式； （2）设bn=1an+1+1an+2+1an+3+…+1a2n，若对任意的正整数n，当m∈[-1，1]时，不等式t2-2mt+16＞bn恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵a1=2，an-an-1-2n=0（n≥2，n∈N）∴a2=6，a3=12（2分）
当n≥2时，an-an-1=2n，an-1-an-2=2（n-1），…，a3-a2=2×3，a2-a1=2×2，
∴an-a1=2[n+（n-1）+…+3+2]，
∴an=2[n+(n-1)+…+3+2+1]=2n(n+1)2=n(n+1)（5分）
当n=1时，a1=1×（1+1）=2也满足上式，
∴数列{an}的通项公式为an=n（n+1）（6分）
（2）bn=1an+1+1an+2++1a2n=1(n+1)(n+2)+1(n+2)(n+3)++12n(2n+1)=1(n+1)-1(n+2)+1(n+2)-1(n+3)++12n-1(2n+1)=1(n+1)-1(2n+1)=n2n2+3n+1=1(2n+1n)+3（8分）
令f(x)=2x+1x(x≥1)，则f′(x)=2-1x2，当x≥1时，f'（x）＞0恒成立
∴f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数，故当x=1时，f（x）min=f（1）=3
即当n=1时，(bn)max=16（11分）
要使对任意的正整数n，当m∈[-1，1]时，不等式t2-2mt+16＞bn恒成立，
则须使t2-2mt+16＞(bn)max=16，
即t2-2mt＞0，
对∀m∈[-1，1]恒成立，
∴t2-2t＞0t2+2t＞0，解得，t＞2或t＜-2，
∴实数t的取值范围为（-∞，-2）∪（2，+∞）（14分）