Question

讨论函数f(x)=x+a/x(a>0)的单调性

Answer 1

首先，f(x)的定义域为x不等于0
f‘(x)=1-a/x^2
令f‘(x)=0得x=√a或-√a
当x<-√a时，f‘(x)>0,f(x)单调递增
当-√a<x<0或0<x<√a时，f‘(x)<0,f(x)单调递减
当x>√a时，f‘(x)>0,f(x)单调递增

Answer 2

先讨论x>0的情况：
f(x)=x+a/x
令0<x1<x2
f(x1)-f(x2)
=(x1+a/x1)-(x2+a/x2)
=(x1-x2)+(a/x1-a/x2)
=x1-x2+a(x2-x1)/x1x2
=(x1x2-a)(x1-x2)/(x1x2).
①如果0<x1<x2≤√a
因为0<x1<x2≤a^0.5
所以x1-x2<0,x1x2-a<0
故(x1x2-a)(x1-x2)>0
所以当0<x≤√a时，f(x)单调递减
②如果√a≤x1<x2
因为√a≤x1<x2
所以x1-x2<0,x1x2-a>0
故(x1x2-a)(x1-x2)<0
所以当x≥√a时，f(x)单调递增
当x<0时，
因为f(-x)
=-x-a/x=-f(x),函数是奇函数，图像关于原点对称。
所以当-√a
≤x<0时，f(x)单调递减，
当x≤-√a时，f(x)单调递增。