Question

什么是特征函数

Answer 1

在概率论中，任何随机变量的特征函数(缩写：ch.f,复数形式：ch.f's)完全定义了它的概率分布。
特征函数具有以下基本性质：
勒维连续定理
如果两个随机变量具有相同的特征函数，那么它们具有相同的概率分布； 反之， 如果两个随机变量具有相同的概率分布， 它们的特征函数也相同(显然)。
独立随机变量和的特征函数等于每个随机变量特征函数的乘积。
反演定理
在累积概率分布函数与特征函数之间存在双射。也就是说，两个不同的概率分布不能有相同的特征函数。
研究概率论极限理论的一种重要的分析工具.若ξ是定义在(Ω，F，P)上的随机变量，F(x)是它的分布函数，称函数

φ(t)=Eeitξ＝∫+∞-∞eitxdF(x)，

(-∞<t<+∞， i=)

为随机变量ξ(或分布函数F(x))的特征函数.如果ξ是离散型随机变量，P(ξ=xk)=pk (k=1，2，…)，则其特征函数

φ(t)=Eeitξ＝eitxkpk.

如果ξ是连续型随机变量，其分布密度为p(x)，则ξ的特征函数

φ(t)=Eeitξ＝∫+∞-∞eitxp(x)dx.

可知，φ(t)是p(x)的傅里叶变换.

随机变量的特征函数总是存在的，它对一切t有定义，一般是实变量的复值函数.

特征函数具有如下性质：

1.有界性：|φ(t)|≤φ(0)=1 (-∞<t<+∞).

2.一致连续性：φ(t)在整个实轴上一致连续.

3.非负定性：对于任意n≥1，任意实数t1，t2，…，tn和任意复数z1，z2，…，zn，有

φ(tj-tk)zjz–k≥0.

4.φ(-t)=.

5.设η=aξ+b，其中a，b为任意实数，则

　　

6.设ξ和η是相互独立的随机变量，则

　　

一般地，若ξ1，ξ2，…，ξn相互独立，则

φξ1+…+ξn(t)=φξ1(t)…φξn(t).

7. 如果ξ有n阶原点矩，则它的特征函数φ(t)有n阶导数;并且φ (k)(0)=ikEξk (k=1，2，…，n).反之，若φ (2n)(0)存在，则ξ具有2n阶原点矩.