Question

设a>0,a不等于1,解关于x的不等式|loga(ax^2)|<|logax|+2

Answer 1

不等式|loga(ax^2)|<|logax|+2
|loga(a)+2loga(x)|<|loga(x)|+2
即|1+2loga(x)|<|loga(x)|+2
1+2loga(x)=0
==>loga(x)=-1/2,x=1/√a
若0<a<1时，
当
0<x<1,loga(x)>0,
不等式即1+2loga(x)<loga(x)+2
loga(x)<1/2
=loga(√a)
x>√a
∴√a<x<1
当1≤x<1/√a时，-1/2<
loga(x)≤0
,
-1<2loga(x)≤0,0<1+2loga(x)≤1
原不等式即1+2loga(x)<-loga(x)+2
∴loga(x)<1/3
,x>³√a
∴1≤x<1/√a,符合题意
当x≥1/√a时，loga(x)≤-1/2
,1+2loga(x)≤0
原不等式即-1-2loga(x)<-loga(x)+2
∴loga(x)>-3
,x<1/a³
∴1/√a<x<1/a³
综上，当0<a<1时，原不等式的解集(√a,1/a³)
若a>1,
当
0>1,loga(x)>0,
不等式即1+2loga(x)<loga(x)+2
loga(x)<1/2
=loga(√a)
x<√a
∴1<x<√a
当1/√a<x≤1时，-1/2<
loga(x)≤0
,
-1<2loga(x)≤0,0<1+2loga(x)≤1
原不等式即1+2loga(x)<-loga(x)+2
∴loga(x)<1/3
,x<³√a
∴1/√a<x≤1,符合题意
当0<x≤1/√a时，loga(x)≤-1/2
,1+2loga(x)≤0
原不等式即-1-2loga(x)<-loga(x)+2
∴loga(x)>-3
,x>1/a³
∴a³<x≤1/√a
综上，当a>1时，原不等式的解集(1/a³,√a)
∴当0<a<1时，原不等式的解集(√a,1/a³)
当a>1时，原不等式的解集(1/a³,√a)