Question

若函数f（x）=x2|x-a|在区间[0，2]上单调递增，则实数a的取值范围__...

若函数f（x）=x2|x-a|在区间[0，2]上单调递增，则实数a的取值范围_____．

Answer 1

解：f（x）=x2|x-a|=x3-ax2，x≥a-x3+ax2，x＜a，
当x≥a时，f（x）=x3-ax2，f′（x）=3x2-2ax，
要使f（x）在[0，2]上单调递增，则a≤x3x2-2ax≥0在[0，2]上恒成立，
由a≤x在[0，2]上恒成立，得a≤0；
对于3x2-2ax≥0，即2ax≤3x2，x=0时对任意a都成立，当x∈（0，2]时，a≤32x在[0，2]上恒成立，得a≤0；
当x＜a时，f（x）=-x3+ax2，f′（x）=-3x2+2ax，
要使f（x）在[0，2]上单调递增，则a＜x-3x2+2ax≥0在[0，2]上恒成立，
由a＜x在[0，2]上恒成立，得a＜0；
对于-3x2+2ax≥0，x=0时对任意a都成立，当x∈（0，2]时，a≥32x在[0，2]上恒成立，得a≥3，
∴当x＞a时，满足f（x）在[0，2]上单调递增的a不存在．
综上，使函数f（x）=x2|x-a|在区间[0，2]上单调递增的实数a的取值范围是a≤0．
故答案为：a≤0．