若函数f(x)=x2|x-a|在区间[0,2]上单调递增,则实数a的取值范围__...

若函数f(x)=x2|x-a|在区间[0,2]上单调递增,则实数a的取值范围_____.... 若函数f(x)=x2|x-a|在区间[0,2]上单调递增,则实数a的取值范围_____. 展开
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贰蔓九逸雅
2019-11-09 · TA获得超过3830个赞
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解:f(x)=x2|x-a|=x3-ax2,x≥a-x3+ax2,x<a,
当x≥a时,f(x)=x3-ax2,f′(x)=3x2-2ax,
要使f(x)在[0,2]上单调递增,则a≤x3x2-2ax≥0在[0,2]上恒成立,
由a≤x在[0,2]上恒成立,得a≤0;
对于3x2-2ax≥0,即2ax≤3x2,x=0时对任意a都成立,当x∈(0,2]时,a≤32x在[0,2]上恒成立,得a≤0;
当x<a时,f(x)=-x3+ax2,f′(x)=-3x2+2ax,
要使f(x)在[0,2]上单调递增,则a<x-3x2+2ax≥0在[0,2]上恒成立,
由a<x在[0,2]上恒成立,得a<0;
对于-3x2+2ax≥0,x=0时对任意a都成立,当x∈(0,2]时,a≥32x在[0,2]上恒成立,得a≥3,
∴当x>a时,满足f(x)在[0,2]上单调递增的a不存在.
综上,使函数f(x)=x2|x-a|在区间[0,2]上单调递增的实数a的取值范围是a≤0.
故答案为:a≤0.
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