Question

已知1/a,1/b,1/c,成等差数列，求证,(a+c)/b是(b+c)/a与(a+b)/c的等差中项

Answer 1

已知：1/a+1/c=2/b，求证2(a+c)/b=(b+c)/a+(a+b)/c
化简已知条件可得：bc+ab=2ac
化简求证结果可得：2(a+c)ac=(b+c)bc+(a+b)ab，即2a2c+2ac2=b2c+bc2+a2b+ab2,将bc+ab=2ac带进去化简即可得证

Answer 2

要证(a+c)/b是(b+c)/a与(a+b)/c的等差中项，只要

2(a+c)/b=(b+c)/a+(a+b)/c。

取a+b+c=x.则a+c=x-c,b+c=x-a,a+b=x-c代入上式

(x-b)/b=(x-a)/a+(x-c)/c整理的

2/b=1/c+1/a.由已知1/a,1/b,1/c,成等差数列可证得。

Answer 3

证明：由条件得2/b=1/a+1/c
故(b+c)/a+(a+b)/c=(a+b+c-a)/a+(a+b+c-c)/c=(a+b+c)(1/a+1/c)-2=(a+b+c)*2/b-2=2[(a+c)/b+1]-2=2(a+c)/b
即(b+c)/a+(a+b)/c=2(a+c)/b
所以，(a+c)/b是(b+c)/a与(a+b)/c的等差中项