Question

高数变上限积分求导问题！

题目是这样的：曲线y=∫sin(x-t)dt(下限为0,上限为x)在点x=π/2处的切线方程为____. 解答过程如下：令x-t=u,则dt=-du,当t=0时，u=x,当t=x时，u=0。 所以y=∫sin(x-t)dt(下限为0,上限为x)=∫sinudu(下限为0,上限为x),所以y的导数为si... 题目是这样的：曲线y=∫sin(x-t)dt(下限为0,上限为x)在点x=π/2处的切线方程为____. 解答过程如下：令x-t=u,则dt=-du,当t=0时，u=x,当t=x时，u=0。 所以y=∫sin(x-t)dt(下限为0,上限为x)=∫sinudu(下限为0,上限为x),所以y的导数为sinx,……（后面的都懂）。 在这里x明明为变量，为什么定积分换元法（令x-t=u,则dt=-du,当t=0时，u=x,当t=x时，u=0）还成立？难道可以先把x看做常数？原理是什么？

Answer 1

这里积分是对t积分，而不是对x积分，x不是t的一个函数，而u=x-t是t的一个函数，u对t求导有，du/dt=-1
所以有du=-dt

Answer 2