Question

大神，这2个问题求答案

Answer 1

证明：(1)
a(n+1)^2=an*bn=√[a(n-1)b(n-1)*[a(n-1)+b(n-1)]/2<=√[a(n-1)b(n-1)]√[a(n-1)b(n-1)]
=an*bn=an^2=bn^2;
当an-1=bn-1时，[a(n-1)+b(n-1)]/2=√[a(n-1)b(n-1)];an-1>=0时， bn-1>=0时；
所以，当liman(x->∞）存在，lim(n->b)bn存在，且lim(x->∞)an=lim(x->∞)bn.
（2）
原式=1/(1+1)+1/(3+1)+1/(3^2+1)+......+1/(3^n+1)

=(1/2+1/4+1/10)+1/[4(3^2-3+1)]+......+1/{4[3^(n-1)-3^(n-2)+.......+(-1)^(n-1)]}
<=17/20+1/28+......+1/[4(3^(n-1)]<=1
所以lim(x->∞）xn<=1。
证毕。