Question

两向量向量积分配律证明

两向量向量积分配律证明

Answer 1

下面把向量外积定义为：
a × b = |a|·|b|·Sin<a, b>.

下面给出代数方法。我们假定已经知道了：

1)外积的反对称性：
a × b = - b × a.
这由外积的定义是显然的。

2)内积（即数积、点积）的分配律：
a·(b + c) = a·b + a·c,
(a + b)·c = a·c + b·c.
这由内积的定义a·b = |a|·|b|·Cos<a, b>，用投影的方法不难得到证明。

3)混合积的性质：
定义(a×b)·c为矢量a, b, c的混合积，容易证明：
i) (a×b)·c的绝对值正是以a, b, c为三条邻棱的平行六面体的体积，其正负号由a, b, c的定向决定（右手系为正，左手系为负）。
从而就推出：
ii) (a×b)·c = a·(b×c)
所以我们可以记a, b, c的混合积为(a, b, c).
由i)还可以推出：
iii) (a, b, c) = (b, c, a) = (c, a, b)
我们还有下面的一条显然的结论：
iv) 若一个矢量a同时垂直于三个不共面矢a1, a2, a3，则a必为零矢量。

下面我们就用上面的1)2)3)来证明外积的分配律。
设r为空间任意矢量，在r·(a×(b + c))里，交替两次利用3)的ii)、iii)和数积分配律2)，就有
r·(a×(b + c))
= (r×a)·(b + c)
= (r×a)·b + (r×a)·c
= r·(a×b) + r·(a×c)
= r·(a×b + a×c)
移项，再利用数积分配律，得
r·(a×(b + c) - (a×b + a×c)) = 0
这说明矢量a×(b + c) - (a×b + a×c)垂直于任意一个矢量。按3)的iv)，这个矢量必为零矢量，即
a×(b + c) - (a×b + a×c) = 0
所以有
a×(b + c) = a×b + a×c.
证毕。
参考资料：《空间解析几何引论》（第二版），南开大学《空间解析几何引论》编写组

Answer 2

向量a*(向量b+向量c)=向量a*向量b+向量a*向量c